Kaizen Blog: 2009

Trigonometria Básica

Aⁿ-Bⁿ⁼(A-B).(A^n-1+ A^n-2.B¹ … B^n-1)

Tg²(a) + 1 = Sec²(a)

Sen(x) – Sen(a) = 2.Sen([x-a]/2).Cos([x+a]/2)

Sen(a+b)= Sen(a).Cos(b) + Sen(b).Cos(a)

Cos(a+b)= Cos(a).Cos(b) – Sen(a).Sen(b)

Tg(a+b) =

Limite

Sen(x)x (Para valores pequenos de x), então, &

Unicidade: "Se o Limite existe, então este é Único! "

Em x = x₀ a função não é definida, pois, f(x) com x→x₀, tende a +x1 e -x1 (então o limite não existe.)

Pra que o limite exista num ponto x₀, a função não precisa estar definida no ponto.

Se e lim(h(x))=K e lim(g(x))=K, então lim(f(x)) no mesmo ponto é também "K"

Continuidade: Uma função é Contínua em P, se , caso contrário é descontínua.

O limite da soma = soma dos limites - se os limites existirem!

O limite do produto = produto dos limites - se os limites existirem!

Teorema de L'hopital

Fundamento: quando a função se aproxima de x=0, o valor da função é aproximadamente o valor da reta tangente.

Quando vale: 0/0 ou ∞/∞ lembre-se! ∞.0 = ∞.1/∞ = ∞/∞

Derivada (equação da Reta Tangente ao gráfico num ponto X)

f'(x) = Tomando que

Demonstração: f(x)= xⁿf'(x)=nx^n-1

Demonstração: f(x)= g(x).k(x)f'(x)= g'(x).k(x) + g(x).k'(x)

Demonstração: f(x)=

g(x)= f(x).h(x)g'(x)= f'(x).h(x) + f(x).h'(x)g'(x)= f'(x).h(x) + f'(x)=

mo das derivadas....

Método de Newton – f'(x) = y – y₀/x-x₀

Reta Tangente Reta Normal

Obs.: Se f^-1(x) é diferenciável f'(x) ≠ 0 (reta vertical não é função!)

{é o ângulo cujo seno vale x}

Para os casos em que valem as fórmulas abaixo, caso contrário, usar o procedimento acima.

Sen^-1(x)'=, cos^-1(x)'=, sec^-1(x)'=, cossec^-1(x)'=, tg^-1 (x)'=

Concavidade:

Positiva: se f'(x) é decrescente num dado intervalo aberto .

Negativa: se f'(x) é crescente num dado intervalo aberto .

Ponto de inflexão (mudança de concavidade)

se f'(x₀) = 0 & troca de sinal em x₀(diriva-se duas vezes: como a função cresce/secresce)

Ponto críticos (pontos candidatos a serem o máximo ou mínimo de uma função.)

Os candidatos são os pontos onde a derivada se anula ou não é definida.

Obs.: f(x)=cte, todos o pontos são máximo e todos os pontos são mínimos.

Polinômio de Taylor: P(x)= f(x0) + f'(x0)(x-x0)/1! + f''(x0)(x-x0)/2! + fn(x0)(x-x0)/n!

Válido apenas para funções analíticas. Ex. Sen, exponencial. Não vale para tg.

Sen(x) =

Construção de Gráficos

Assíntotas horizontais Assíntotas verticais

Assíntotas Inclinadas (freqüentemente: p(x)/q(x), onde deg(p(x)) = deg(q(x)) +1)

No infinito, f(x) = ax+b, logo: &

Cúspide (tem que ser contínua em x₀ e )Dicas de Polinômios

Um polinômio de grau n é definido para todo x, contínuo e diferenciável em todos os pontos.

Se uma raiz tem multiplicidade 1, ele corta o eixo x nesse ponto.

Se tem multiplicidade 2, ele tangencia e não corta o eixo x nesse ponto.

Se tem multiplicidade 3, ele corta o eixo x nesse ponto.

Tem n raízes, no máximo n-1 pontos críticos e n-2 pontos de inflexão.

Teorema Fundamental do Cálculo:

Seja f(x) a derivada de F(x), então F(x) é a antiderivada de f(x) e a integral é a função inversa da derivada:

Soma =

Obs.: a integral definida (área) ou indefinida (função) tem que ser contínua no intervalo. Ex.= -2 (absurdo!)

Técnicas de integração:

Substituição: proveniente da regra da cadeia: ex.: , faça

Obs.: Note que os limites de integração mudam com a substituição da variável x.

Integração por partes:

Frações parciais:

Substituição Trigonométrica:

Lembre-se sempre de voltar para x!

Outras integrais trigonométricas:

Integrais Impróprias:

Obs.: Se o limite não existe, ou é , a integral não converge e, consecutivamente, não é definida.

Comprimento de arco: onde f'(x) é a derivada da função/curva que gera o arco.

Se a função vier parametrizada, S =

Cálculo Diferencial e Integral II

A composta de duas funções contínuas é também contínua

Se F(x,y) tem diferentes limites ao longo de curvas suaves no ponto (x₀,y₀) então não existe!

Para a derivada parcial existir, não é necessário que a função seja contínua.

Se uma função F tiver derivadas parciais de 1ª ordem nos pontos próximos a P₀e se essas derivadas forem contínuas, então F é diferenciável em P_0.

Se uma função é diferenciável em P₀, então ela é contínua em P₀

F_xy=F_yx se e somente se F_x,F_y,F_xy=F_yx são contínuas em um intervalo aberto I

Por definição, o gráfico de uma função de duas variáveis é: z = f(x,y)

Aproximação Linear: F(x+h,y+k) = F(x,y) + F_x.h + F_y.k + erro(h,k)

Se F é diferenciável, então erro(h,k) é desprezível em relação à distância:

Vetor velocidade: módulo = |γ'(x₀,y₀)|, tangente à curva γ no ponto, aponta no sentido de crescimento de F.

Seja F(x,y) = F_x(0,0)=

Obs.: para mostrar que

Regra da cadeia, ou Z=F(x(t),y(t))

Seja df/dx =0,

(gradiente de F) – vetor que aponta no sentido que a curva cresce mais naquele ponto. Essa taxa de crescimento máximo é dado por .

é sempre ortogonal à curva de nível (espaço 2D) ou a superfície (espaço 3D) obs.:

Derivada direcional: taxa de crescimento no sentido do vetor unitário
e é dada por

Vetor tangente à superfície G(×)∩F(×) =

Se F é diferenciável em P₀, então F possui um plano tangente em P₀

Se ≠ 0 então: eq. Plano tangente em P₀é:

Planos Tangentes: Z-Z₀=f_x(x-x₀)+ f_y(y-y₀) ou

Polinômios de Taylor de Ordem 2:

obs.: essa aproximaçã oé bem melhor, o erro vai a zero mais rápido que o quadrado da distância.

Máximos e Mínimos:

Se f(x,y) tem um extremo, emtão a reta tangente a esse ponto está contida no plano z=f(x,y)

Assim, as derivadas parciais são iguais a zero (f_x=f_y=0, se existirem!)

Pontos candidatos (= críticos ou estacionários): f_x=f_y=0 ou onde f não é diferenciável

Matriz Hessiana: H=

se Det(H) > 0 e fxx > 0 = mínimo local

se Det(H) > 0 e fxx < 0 = máximo local

se Det(H) < 0 = ponto de sela

Conjunto fechado: possui a fronteira

Conjunto aberto: não possui a fronteira

Conjunto limitado: cabe dentro de uma esfera grande

(Não vai para o infinito)

Conjunto Compacto: limitado e fechado

(Em todos os conjuntos desse tipo há pelo menos um

ponto de máximo e pelo menos um ponto de mínimo)

Integrais Múltiplas:

Integral Dupla (Soma das infinitas Colunas)

Integral Iterada (Soma das infinitas Lâminas)

Teorema de Fubini = a Integral Dupla é igual a qualquer uma das Integrais Iteradas

Jacobiano

, é a taxa de compressão/dilatação da área S, quando mudamos o sistema de coordenadas.

O determinante do jacobiano da função é o inverso do jacobiano de

O porquê do Jacobiano: quando um retângulo pequeno (área = ) é levado de (x,y) em (u,v),

ele se deforma, e sua área é aproximada por um losângulo de lados e , cuja área é

Mas, vai ser , portanto:

Conversão de Coordenadas Retangulares (x,y,z) em

Polares
→ Jacobiano = r

→ , ↔ ,

Cilíndricas
→ Jacobiano = r

→
, , ↔ ,,

Esféricas

→ Jacobiano =

→
,, ↔ ,,

Áreas de Superfícies de Revolução

Obetendo a Curva perfil e fazendo z = ρ obtemos a parametrização:

F(ρ ,θ) = (.cos θ, .sen θ ,ρ). A área da superfície será será dada pela expressão

Se o gráfico for , simplificando S, temos

Plano Tangente a Superfícies Paramétricas

O vetor normal à superfície será

O plano tangente será dado pela expressão:

Exemplos de Parametrização

Parametrização da Esfera: (x²+ y² = r²)

, (u,v) Î

Parametrização do Cone: (x²+y² = a²z²/b²)

, (u,v) Î [0,2p] x [0,a]

Parametrização do Parabolóide: (x²+ y² = a²)

, (u,v) Î [0,2p] x [0,a]

Parametrização do Cilindro: (x²+y² = a², 0 < z < b)

, (u,v) Î [0,2p] x [0,b]

Cálculo Diferencial e Integral III

Reparametrização de Curvas:

Escrevendo s em função de t →

Diz-se α é uma curva regular se

ela pode ser reparametrizada em função do comprimento de arco, ou seja:

Seja β uma curva α parametrizada em função do comprimento de arco, temos:

(α e β têm o mesmo sentido), (sentidos contrários),

Integral de Linha:

O Comprimento de arco da curva C pode ser calculado por .

Ou ainda, a Área Lateral de um objeto cujos lados têm altura h(x,y) =

Obs.: obs2:

Invertendo o sentido em que se percorre a curva, a integral muda de sinal, exceto quando parametrizada em ds.

, mas cuidado!

Campo Vetorial – associa um único vetor a um ponto.

- De Quadrado Inverso: ex. Campo Gravitacional

- Campo Central (será sempre conservativo se F(x,y,z) depende apenas da distância à origem (ρ)).

Ex.: Campos de Quadrado inverso.

Divergência

Rotacional

dica:

Propriedades: (O mesmo vale para para a divergência!)

( é o gradiente de alguma função potencial φ)

- Rotacional é sempre zero: , pois

- Independência do Caminho: o valor da integral é mesmo ao longo de qualquer curva que liga P_i a P_f

- Seu valor é dado por: φ(P_f)- φ(P_i) (igual a zero se a Curva for Fechada, pois P_f = P_i)

a) Rot(F)=0 implica no campo ser conservativo se a região D pode ser totalmente prencheida andando a partir de um ponto esolhido P na direção x, depois na y, e por fim na z, sem passar por fora.

Obs.: uma vez escolhida a ordem a]das direções, essas, deverão ser mantidas.

b) Rot(F)=0 implica no campo ser conservativo se, e somente se, D for uma região simplesmente conexa.

Em R², é uma Região menos um ou mais pontos, em R³, é uma região menos uma ou mais retas.

ex. R³ – {0,0,0} é simplesmente conexo, mas R³ – eixo x não é.

Teorema de Green

(ao longo de uma curva fechada percorrida, de maneira tal, que a região D fique sempre a esquerda.)

ou seja, fronteira externa no sentido anti-horário e fronteiras internas no sentido horário.

Se D for simplesmente conexa:

Se D for multiplamente conexa:

Integrais de Superfície (integral de uma função ao longo de uma casca). Obeserve que a superfície está num espaço 3-D, então para usarmos uma integral dupla devemos parametrizar a superfície para que ela seja descrita com apenas duas variáveis.

(Lembre-se do Jacobiano ao mudar os parâmetros.)

Se, podemos simplificar a expressão acima obtendo:

Já a área de uma superfície σ é dada por

Orientação de Superfícies: uma superfície é orientável quando possui dois lados distintos. Ex. uma esfera tem o lado de dentro e o de fora, um plano tem o lado de cima e o de baixo, mas existem superfícies não orientáveis como a faixa de möbius que possui um lado apenas. (uma formiga percorre toda a superfície sem precisar atravessar a borda.)

Uma curva tem orientação positiva se uma pessoa percorrendo a fronteira com a cabeça na direção e n, a superfície está à sua esquerda.

Se a superfície for orientável, escolhemos um vetor unitário e perpendicular a superfície para definirmos a orientação. Só há duas maneiras possíveis, n ou –n.

Seja , então n é dado por

Seja a velocidade do fluido, então a quantidade de fluido* (vazão) que atravessa a superfície σ é:

obs.: tomamos apenas a componente de F na direção de n, já que é a única que contribui.

*para ser verdade, o fluido deve ser imcompressível e estacionário (a velocidade num ponto não varia com o tempo.)

Simplificando...

Observe que se temos que é uma superfície de nível. Lembre-se que o gradiente é sempre perpendicular à σ, então e , logo .

Teorema da Divergência (Gauss):

*G é um sólido orientado para fora.

*f,g e h tem derivadas parciais contínuas.

Uma outra definição para a divergência é:

Em outras palavras: o fluxo de G é aproximadamente o volume vezes a divergência. (para G bem pequeno)

Se , P₀ é chamado de fonte, Se , P₀ é chamado de poço.

Lei de Gauss para Campos de Quadrado Inverso:

*σ é orientável e circunda a origem.

Demonstração: , mas a divergência para campos de quadrado inverso é nula

σ2 é uma esfera que circunda a origem, tem raio bem pequeno e é orientada no sentido contrário a σ.

Teorema de Stokes

*σ orientada suave por partes e limitada por C (fechada, simples e com orientação positiva)

*T é o vetor unitário tangente à c

*f,g e h possuem derivadas parciais contínuas.

Seqüência (F:N→R)

Limite: só tem sentido o limite n→∞, visto que n é um número natural.

Uma seqüência pode: a) Divergir ( "diverge" ou "oscila"). Ou convergir

Propriedades:

*Uma seqüência converge para L ↔ as subseqüências pares e ímpares também convergem.

Teorema do confronto: ; . Temos também que . Logo, limite =0

Uma seqüência pode ser definida recursivamente: ;

Seqüência crescente: ; ; . Seqüência estritamente crescente:

Seqüencia monótona: toda seqüência crescente ou decrescente.

Seqüência limitada superiormente: * O menor M que satisfaz tal condição é chamado de supremo.

Seqüência limitada inferiormente: * O maior N que satisfaz tal condição é chamado de ínfimo.

Teorema: Toda Seqüência monótona e limitada é convergente.

Obs.: Para verificar se uma se uma seqüência é convergente, basta analisar a partir de um certo termo, não importando o que acontece antes daquele termo.

Séries Infinitas: (somas).

Notação:: enésimo termo da série. : soma dos n primeiros termos da série.

Ex.:

*Se a Seqüencia das somas parciais diverge, então a série não tem soma.

Convergência condicional: converge.

Convergência absoluta: converge. *toda série desse tipo, também converge condicionalmente.

Tipos de Série: Série Alternada:

então . Raciocínio Errado! Essa série diverge, pois oscila.

Progressão Geométrica: r>1, diverge. r<1, converge. r=1, iconclusivo.

Série harmônica: . Diverge

Série harmônica alternada: . Converge. L=ln(2).

Série de Taylor:

Teste de convergência das Séries

Se converge, então

Obs.: todas as séries com divergem, mas nem todas convergem.
converge, então também converge. pois a soma de até é um número finito.
Teste da Integral: e . Ou ambas convergem ou ambas divergem.
P-séries: . P>1, converge. P≤1, diverge.
Teste da Comparação: seja ; se converge, também converge.
seja ; se diverge, também diverge.
Teste do Limite: sejam sempre positivos. Se , então ou ambas conv. Ou ambas divergem.
Teste da Razão: . L<1, converge. L>1, diverge. L=1, Inconclusivo.
Teste da Raiz: . L<1, converge. L>1, diverge. L=1, Inconclusivo.

*Os testes 7 e 8 darão sempre o mesmo resultado, exceto se o limite do teste 7 não existir.

Obs.: O erro cometido em vez de somar todas as parcelas da série e apenas as n primeiras é sempre menor que a_n+1

Dicas: ; ; ; ;

Séries de Potência: Desenvolve-se a série de taylor da função que se deseja:

no intervalo (-1,1)

;

Cálculo Diferencial e Integral 4

Equações Diferenciais: Ordinárias (de uma variável) e Parciais (de duas ou mais variáveis).

Quando uma equação tem solução, nem sempre ela é única.

Nem sempre uma equação diferencial tem solução, contudo, sendo um problema de física, deve haver uma maneira de resolve-lo, caso contrário, o problema foi formulado erroneamente.

Ordem de uma equação: o mesmo que o da derivada de maior ordem.

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem:

*Se eforem contínuas no intervalo, a solução é única!

Obs.: Se eforem descontínuas no intervalo, a solução pode ser contínua, porém, se a solução for descontínua, então etambém são, obrigatoriamente, descontínuas.

Fatores Integrantes:

Premissa: Queremos que seja a derivada de, onde é o fator integrante.

Multiplicando ambos os lados por , resta termos para a premissa ser satisfeita. Logo:

Agora é só resolver a equação:

Equações Separáveis:

Pois assim teremos

Intervalo de Definição:

Resolvendo:, obtemos:

Fica claro que é um ponto de descontinuidade. Então, temos dois intervalos possíveis e

Mas como devemos satisfazer a condição , escolhemos o intervalo é .

Teorema da Unicidade: (suficiente mas não necessário)

Sejam e contínuas num dado retângulo R contendo o ponto , então a solução da equação de valor inicial ; existe e é única.

Equações Exatas

Uma equação da forma é exata, se .

Ou seja, se e , onde F é a função potencial.

Exemplo: (Equação exata.)

Solução:

Equações Homogêneas:

Não dependem nem de x nem de y separadamente, mas sempre da razão y/x, ou seja:

Exemplo:

Então, temos:

Equações Lineares de Segunda Ordem

Equações Homogêneas de Coeficientes Constantes:

Solução Geral: onde e são soluções específicas.

Equação característica:
→ raízes: .

Teorema: seja a equação , com p,q e g contínuas em I.

Então o problema tem solução e ela é única.

Princípio da Superposição: se e são soluções da equação , então, a combinação linear também é solução para qualquer .

As soluções variam de acordo com a classificação das raízes da equação característica. Abaixo segue os 3 casos:

a) Raízes Reais: Solução geral:

b) Raízes Repetidas: se as raízes forem iguais, obtemos inicialmente apenas , precisamos então calcular .

Fazemos e substituímos na equação e simplificamos, obtendo então

Integrando o resultado obtido, temos , . Finalmente a solução geral fica:

c) Raízes Complexas:

*De acordo com a fórmula de Euler: , temos: .

Fazendo uma combinação linear temos: , ,

Finalmente, a solução geral fica: .

Wronskiano:

Sejana condição inicial , então há uma escolha das constantes e que satisfazem o problema de valor inicial. Para a equação ser um conjunto fundamental de solução, basta existir um ponto no qual

são LD são linearmente dependentes

são LI são linearmente independentes

Teorema de Abel

*c só depende de e , independe de t.

Redução de Ordem

Suponhamos que só conhecemos uma solução da equação

A outra solução da equação deve ser do tipo . Então e

Substituindo e simplificando, obtemos: , que é na verdade uma equação de 1ª ordem.

Equação Não Homogênea

É a equação do tipo
. *Observe que:

Fazendo Y₂ uma solução geral e Y₁ uma solução específica, descobrimos que a solução geral pode ser obtida resolvendo-se a equação homogênea e somando com uma solução específica da equação não-homogênea.

Para resolver uma equação específica da equação não-homogênea, temos dois métodos:

Métodos dos Coeficientes Indeterminados:

Ex.: Achar uma solução particular de

Dividimos a equação em três e tentamos achar a solução de cada uma determinando os coeficientes A e B.

Sol. do tipo: solução:

Resposta:

Método da variação dos parâmetros:

Substituímos as constantes da solução geral da eq. homogênea por duas funções, obtendo: .

Calculamos então y, y' e y'' e substituímos. Forçamos a igualdade , obtendo a solução:

*veja que esse método é mais trabalhoso que o anterior, porém sempre nos garante uma solução explícita.

Observação: , ,

Transformada de Laplace

Definição:

Teorema: sejaseccionalmente contínua no intervalo 0≤t≤L, para qualquer L positivo e quando t≥M,

Então a transformada existe para s>a.

Sejacontínua, e seccionalmente contínua

e , então existe. Além disso:

Função Degrau

Tabela da Transformada e da Inversa de Laplace:

Problema da Condução de Calor:

Condições de Contorno:

Solução:

Separando as variáveis, fazemos a transformação

Da condição vem que donde tiramos:

Hipótese 1:

Aplicando as condições de contorno: ;

O que torna a solução trivial, pois para qualquer x,t.

Hipótese 2:

, que tem equação característica

Solução Geral:

Pela condição , temos novamente uma solução trivial

Hipótese 3:

, que tem equação característica

Solução Geral:

Pela condição

E ainda,

Substituindo em

Pelo princípio da superposição, toda combinação linear é solução, então

Resta agora satisfazer a condição

Para resolvermos esse problema, precisamos estudar as séries de Fourier.

Revisão:

Função periódica de período T

Período Fundamental: é o menor valor de T que satisfaz a equação acima.

Obs.: Se e forem duas funções periódicas de mesmo período T, então o produto e a combinação linear também são periódicas de período T.

, ,

e são ortogonais se

Sabendo que

Então temos:

Série de Fourier

Do tipo:

Multiplicando a equação por dos dois lados e integrando de –L a L temos os Termos da Série:

*Válido se a série converge parae se puder ser integrada termo a termo.

Observações sobre a série de Fourier:

*A série de Fourier converge parase e forem seccionalmente contínuas.

*Nos ponto de descontinuidade, ela converge para a média

*A Série pode convergir para uma soma não derivável e descontínua, mesmo que seus termos sejam contínuos e infinitamente deriváveis.

Maneiras de Expandir Função para Utilizar a Série de Fourier:

No caso de aproximar uma função de modo que , devemos expandir tal função, pois as fórmulas acima foram deduzidas para uma função periódica de período 2L. Se quisermos escrever a série em termos apenas de co-senos, devemos expandir a série de maneira par. Se quisermos escrever em termos de senos, expandimos de maneira ímpar. Se Expandirmos de qualquer outra forma, a série será escrita em termos de senos e co-senos. Embora a série final seja diferente nos 3 casos, ela converge para o mesmo valor no intervalo . O que muda é a velocidade de convergência e o valor para o qual a série converge no intervalo .

*Obs.: Ao expandir de maneira ímpar, a função deve ser nula nos pontos –L,0,L. ou seja:

Problema da Condução de Calor Não Homogêneo:

O problema continua o mesmo, o que muda são as Condições de Contorno:

Idéia: substituir por uma soma de duas funções, uma permanente e outra transiente (depende do tempo),

ou seja, fazemos

A função é linear, pois , assim, facilmente obtemos

A função é a mesma que para o mesmo problema na forma homogênea:

Como, então temos:

e ainda:

Uma outra mudança é o coeficiente da série de Fourier. Multiplicado ambos os lados por e integrando de –L a L, o único termo do somatório que não irá se anular é o termo quando ,