Álgebra Linear

Objetivo do curso: resolução do sistema A.X=B

• Se Det(A) = 0 → Det(B)=0 e Qualquer X satisfaz a esquação matricial acima
  
• Se Det(B) ≠ 0 → Det(A) ≠ 0 para poder Existir uma ou mais de uma solução.
  

 

Matriz escada: Matriz Antissimétrica: A = -A^t

 

Matriz Escada:

• 1ª elemento não nulo de uma linha é sempre = 1
  
• as linhas nulas ficam sempre embaixo
  
• todos os outros elementos da coluna do 1º elemento não-nulo são 0.
  

 

(AxB)^t = B^txA^t

Adj(A) – Matriz dos Cofatores

A.adj(A)=det(A).I

 

 

Posto de uma Matriz

= Nº de linhas não nulas da matriz escada

→ Posto de A = 2

 

Nulidade (ou grau de liberdade)

= Nº de colunas (n) – posto (p) da matriz escada

→ Nulidade de A = 4 – 2 = 2

 

 

 

Transformação Linear

T:V→W é uma tansformação linear se:

a) T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)

b) T(kv)=k.T(v)

 

c) T(0)=0 [Sempre!] T(0)=T(v1 – v1) = T(v1) - T(v1)

 

Im(T) é um subespaço vetorial de W

Ker(T) é o núcleo de T: conjunto de todos os vetores que satiafazem T(v)=0

 

T é injetiva:

T é sobrejetiva: T(V)=W

T é bijetiva se for injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.

 

Ker(T)={0} T é sobrejetiva (Se dim(T)≥dim(W))

dim[Ker(T)] + dim[Im(T)] = dim(V)

Se dim(V)=dim(W), então T é injetora T é sobrejetora [T(base V)=Base W]

 

Toda transformação linear está associada a uma única matriz [T].

T(v)=[T].v (a matriz resultante é as componentes dos vetores na base W!)

 

 

dim(T)=posto de [T]

dim(Ker(T))=Nulidade de [T]

 

Se T é inversível (=Isomorfo, det(T)≠0)

 

Autovalores e Autovetores:

Definição: T(v)= λv

 

(pois v≠0 por definição!)

tal determinante vai gerar um polinômio p(λ) (característico) cujas raízes reais são os autovalores de T.

 

Multiplicidade de um autovalor: geométrica (=dimensão), aritmética (=Nº de vezes que é raiz de p(λ))

 

Autovetores associados a autovalores diferentes são LI

Então se T:V→Wⁿ possuir n autovalores, seus autovetores formam uma base de W.

 

Se T é diagonalizável T pode ser escrito da seguinte maneira:

 

T= onde λ são os autovalores

 

p(λ) (característico) satisfaz p(T)=0 [Sempre!]

Polinômio minimal (P_m(x)) é igual ao p(λ), mas de raízes com multiplicidades menores ou iguais.

 

Além disso:

T é diagonalizável P_m(x)=(x- λ₁).(x- λ₂)...( x- λ_n) [polinômio característico com multiplicidade = 1]

Ex.: P_m(x)=(x- 3)².(x- 2) não é diagonalizável, mas o polinômio P_m2(x)=(x- 3).(x- 2) é diagonalizável.

Obs.:3 e 2 são autovalores de T

 

Produto Interno

Associa a cada par de vetores um único número e tem as seguintes propriedades:

• &
  
• 
  
• 
  
• 

 

Resumindo: i) Positivo Definido, ii) Linear, iii) Simétrico

Obs.: Nem todo espaço vetorial possui produto interno!

 

Perpendicularidade:     se e

 

Base ortogonal: para , Base ortonormal: para e ||_i|| =1

 

Norma

 

• |||| =
  
• |||| & |||| = 0
  
• ||α.|| = |α|.||||
  
• (Desigualdade de Couchi-Schuarz)
  
• (Desigualdade Triangular)
  

 

 

O ângulo entre dois vetores é assim definido:

 

Obs.:     |||| significa norma de (usado para vetores)

|| significa módulo de (usado para números), logo o correto é

 

Coeficiente de Fourrier (= ||w||.cosθ na direção de )

 

Seja β uma base ortogonal de Vⁿ temos:

o único termo não-nulo desse produto interno é , logo: , mas, x_i sai pq é constante

 

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Idéia, um vetor é ortogonal ao outro se for retidado de um, a sua projeção sobre o outro.

a)

b)      (observe que c é o coeficiente de fourrier) assim:

c) , e assim por diante, depois é só normalizar os

 

Método dos Mínimos Quadrados

Queremos aproximar por uma combinação linear de e

Observe que quanto melhor a aproximação, menor é

Mas,

Se a distância é mínima, o quadrado da distência também é mínimo, portanto elevaremos ao quadrado para retirar a raiz. Depois derivamos em relação as variáveis c₁ e c₂, rearrumamos e obtemos:

 

 

Generalizando....

 

Ex.: seja , , ,

 

Ex.2:     Importante! substitua por

(fazemos isso para expressar a função em termos de uma combinação linear)

 

Seja uma base ortonormal, então seu produto interno será sempre canônico.

Prova. Desenvolva como sendo uma combinação linear do vetores da base, depois observe que os único elementos não-nulos são .

 

Matrizes Ortogonais

é uma matriz ortogonal         Ex.: A = (Rotação)

 

Uma matriz é ortogonal se suas colunas (linhas) são vetores ortonormais

Prova.: → Note que C₁(A).L₁ (A^t)= C₁ (A).C₁ (A)=1 & C₁ (A).L₂(A^t)= C₁ (A).C₂(A)=0

Além disso, observe que a multiplicação da Coluna 1 (C₁) pela Coluna 2 (C₂) é o produto interno <C₁,C₂>

Seja a mudança de base com α e β ortonormais, então a matriz é ortogonal. Com

 

Complemento Ortogonal

Seja S um subconjunto (Não necessariamente um subespaço) do espaço vetorial V. Então denominamos

ou seja, o conjunto dos vetores que são ortogonais a todos os vetores de S simultaneamente

i) será sempre um subespaço vetorial de V

ii) Se S é um subespaço de V →

 

Operador Auto-Adjunto

Quando é uma matriz simétrica e α qualquer base ortonormal, logo também é simétrica.

Propriedades: i) ,         pois , válido para o caso geral

ii) Se ₁ e
₂ forem autovetores associados a autovalores distintos, então <_{1, 2}> = 0

, como λ₁≠ λ₂ →

iii) Sempre existirá uma base ortonormal formada pelos autovetores de T

 

Operador
Ortogonal

Quando for uma matriz ortogonal e α qualquer base ortonormal

Obs.: se α' também for uma base ortonormal, então também é uma matriz ortonormal.

Propriedades:     i)     ii)

iii) Se a base é ortogonal, então também é ortonormal.

 

Transformação Linear

    ex.: (x,y) → x + y        

 

Forma Bilinear (B:VxV→R)

B(v₁ + v₂,k.v₃) = k.B(v₁,v₃) + kB(v₂,v₃)

Atenção! Somente se a matriz [B] for simétrica!

Todo produto interno é uma Forma Bilinear, mas nem toda forma bilinear é produto interno.

A recíproca só vai ser verdadeira, se [B] for simétrica e positiva definida. Ou seja, f:B_(v) > 0, (com v ≠ 0)

 

 

 

é a matriz associada forma linear B:R³xR³ → R

 

Achando a matriz associada....

Sejam→

Forma Quadrática

Sendo [B] simétrica, a forma Linear Quadrádica é definida como:

Observe que em conseqüência da definição, [Q] vai ser sempre simétrica.

 

Teorema:

[Q] poderá sempre ser diagonalizável, e se λ₁, λ_2.... λ_n são seus autovalores →

A base em que essa propriedade é satisfeita, é a base ortonormal originada dos autovetores de [Q].

Passo 1: Acha-se os autovalores de [Q], 2: Acha-se os autovetores, 3: Ortogonaliza-os, 4:Normaliza-os.